海涅定理
1、函数f(x)在x→x0时极限等于A的充要条件是，对于任何满足以下三个条件的数列{xn}，都有n→+∞时f(xn)的极限等于A成立：
2、二是找到两个满足定理中三个条件的数列{xn}和{x'n}使得n→+∞时f(xn)和f(x'n)不相等.
3、海娜定理是沟通函数极限和数列极限之间的桥梁。根据海娜定理，求函数极限则可化为求数列极限，同样求数列极限也可转化为求函数极限。因此，函数极限的所有性质都可用数列极限的有关性质来加以证明。
4、一是找到一个满足定理中三个条件的数列{xn}使得n→+∞时f(xn)的极限不存在；
5、海涅定理说明了数列极限和函数极限之间的联系，海涅定理看似高深，其实是很“自然”的，我们考虑x趋于x0时f(x)的极限，那么"x趋于x0"这个说法是什么意思呢，换句话说，怎么才能让x趋于x0呢，我们只能说，让x取一系列的值xn，而让数列xn的极限等于x0，但是数列xn的选取方式有无穷多种，所以很自然地，函数f(x)当x趋于x0时的极限存在，要求x沿任意数列xn趋于x0，limf(xn)都存在且相等，反过来也可以说如果x沿任意数列xn趋于x0时limf(xn)都存在且相等，就说x趋于x0时limf(x)存在。当然这样得到的海涅定理是“形象化”的证明，严格证明还是要用数列和函数极限的定义。
6、虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是两者是有联系的。海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系，从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁。
7、波莱尔定理，即海涅－博雷尔定理，在数学分析中，海涅－博雷尔定理（Heine–Boreltheorem）或有限覆盖定理、博雷尔－勒贝格定理（Borel–Lebesguetheorem），以爱德华·海涅和埃米尔·博雷尔命名
8、海涅定理是德国数学家海涅(Heine)给出的,应用海涅定理人们可把函数极限问题转化(归结)成数列问题,因而人们又称它为归结原则。
9、海涅定理表明了函数极限与数列极限的关系。
10、海涅定理表明了函数极限与数列极限的关系。如果极限lim[x→x0]f(x)存在，{xn}为函数f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列，且满足：xn≠x0（n∈N+），那么相应的函数值数列{f(xn)}必收敛，且lim[n→∞]f(xn)=lim[x→x0]f(x).
11、根据海涅定理的充分必要条件还可以判断函数极限是否存在。所以在求数列或函数极限时，海涅定理起着重要的作用。海涅定理是德国数学家海涅（Heine）给出的，应用海涅定理人们可把函数极限问题转化（归结）成数列问题，因而人们又称它为归结原则。
12、（3）n→+∞时xn→x0.
13、（2）对任何正整数n，f(xn)都要有定义；
14、它指出函数极限可化为数列极限，反之亦然。在极限论中海涅定理处于重要地位。有了海涅定理之后，有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明。
15、lim[x->a]f(x)=b存在的充要条件是:对属于函数f(x)定义域的任意数列，且lim[n->∞]an=a，an不等于a，有lim[n->∞]f(an)=b。
16、海涅定理是沟通函数极限和数列极限之间的桥梁。根据海涅定理，求函数极限则可化为求数列极限，同样求数列极限也可转化为求函数极限。因此，函数极限的所有性质都可用数列极限的有关性质来加以证明。
17、对于欧几里得空间Rn的子集S，下列两个陈述是等价的：
18、要证明一个函数极限不存在有两种思路：
19、S是闭合并且有界的
20、（1）对任何正整数n，都有xn≠x0；
21、所有S的开覆盖有有限子覆盖，就是说S是紧致的。
22、在数学分析中，海涅－博雷尔定理（Heine–Boreltheorem）或有限覆盖定理、博雷尔－勒贝格定理（Borel–Lebesguetheorem），以爱德华·海涅和埃米尔·博雷尔命名，断言：
23、此外，若某个函数极限的值已经确定，则对应的数列极限也为此值，这里的理论依据也是海涅定理.通过这个道理，我们可以将某些数列极限转化为函数极限进行计算（这样方便求导、使用洛必达法则等），然后转化回数列极限.
24、在实分析的文章中，前面性质有时用做紧致性的定义性质。但是在考虑更一般的度量空间的子集的时候这两个定义就不再等价了，在这种一般情况下只有后者还用于定义紧致性。事实上，对任意度量空间的Heine–Borel定理为：度量空间的子集是紧致的，当且仅当它是完备的并且完全有界的。